IPB

Министерство здравоохранения Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

Волгоградский государственный

медицинский университет

IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

 
Добавить ответ в эту темуОткрыть тему
> Преподобный Томас Байес, p(A|X) = p(X|A) p(A) / p(X)
Immunology
сообщение 8.2.2011, 15:51
Сообщение #1


Почётный
******
Вставить ник
Цитата

Сообщений: 1 129
Факультет: МБФ
Статус: врач
ICQ: 358867266


Преподобный Томас Байес (Глава из книги "Мозг и душа", К.Фрит)

Как же тогда мы можем видоизменить теорию информации, чтобы она учитывала различия в опыте и ожиданиях наблюдателей? Нам нужно сохранить нашу идею, что информативность сообщения (или изображения) определяется его новизной и неожиданностью. Но теперь ее нужно дополнить новой идеей, что сообщение может для одного человека быть неожиданнее, чем для другого. Объективно новое и неожиданное сообщение можно определить как сообщение, меняющее наше представление о мире и, следовательно, наше поведение.

Сегодня вечером я собирался пойти на семинар по нейроэстетике, но его отменили. Вместо этого я могу пойти в бар. Там я встречаю профессора английского языка. На нее это сообщение никак не повлияло. Она никогда не ходит на нейробиологические семинары.

Мы можем также сказать, что информативность сообщения определяется степенью, в которой оно меняет наши убеждения об окружающем мире. Чтобы узнать, какой объем информации содержится в сообщении, передаваемом получателю, нужно узнать, каковы были убеждения получателя до поступления этого сообщения. Тогда мы сможем увидеть, насколько эти убеждения изменились после того, как сообщение было получено. Но можем ли мы определить такие априорные убеждения и происходящие в них изменения?

Решение этой проблемы нашел человек, который будет, наверное, самым необычным из всех ученых, попавших на страницы этой книги. Преподобный Томас Байес (1702–1761) был пресвитерианским священником и за всю свою жизнь не опубликовал ни одной научной работы, хотя и стал в 1742 году членом Лондонского королевского общества. Только через два года после его смерти его классическая работа была наконец опубликована в «Философских трудах Королевского общества». После этого она больше ста лет пребывала в забвении.

Только в двадцатых годах XX века слава Байеса начала расти.

Для Рональда Фишера, бывшего тогда президентом Королевского статистического общества, Байес был настоящим кумиром, и в результате усердного лоббирования со стороны статистиков его в конце концов включили в «Национальный биографический словарь». И все же он оставался почти неизвестным за пределами круга тех, кто профессионально занимался статистикой. И даже те, кто слышал о байесовской статистике, часто считали, что ей не хватает должной объективности.

Но в последние 10 лет Томас Байес стал суперзвездой. В сети есть множество сайтов, где объясняется теорема Байеса и сообщается: «Главное, что Байес крут, а кто не знает Байеса, тот не крут». А если вы не верите тому, что говорят в интернете, то, быть может, вас убедит New York Times за 20 января 2004 года?

«"В научной среде байесовская революция вот-вот станет преобладающей точкой зрения, что 10 лет назад казалось немыслимым", — говорит Брэдли Карлин, профессор здравоохранения из Университета Миннесоты».

Из-за чего же возник весь этот ажиотаж?

Вот как формулируется теорема Байеса:

p(A|X) = p(X|A) p(A) / p(X).

Возьмем некоторое явление (A), о котором мы хотим узнать, и наблюдение (X), которое дает нам какие-то сведения об А. Теорема Байеса говорит нам, насколько увеличится наше знание об А в свете новых сведений X. Нам незачем вникать в детали этого уравнения. Главное — что это уравнение дает нам именно ту математическую формулу убеждений, которую мы искали. Убеждению в данном случае соответствует математическое понятие вероятности. Вероятность позволяет измерить, в какой степени я убежден в чем-то. Если я в чем-то совершенно уверен (например, в том, что утром взойдет солнце), вероятность равна единице [в форме уравнения это можно выразить так: p(взойдет солнце) = 1]. А если я совершенно уверен, что что-то никогда не случится, вероятность равна нулю [p(Крис Фрит выиграет конкурс «Евровидение») = 0]. Большинство наших убеждений не так тверды и занимают промежуточное положение между нулем и единицей [p(поезд, на котором я езжу на работу, опоздает) = 0,5]. И эти промежуточные убеждения постоянно изменяются по мере того, как мы получаем новые сведения. Прежде чем ехать на работу, я уточню положение поездов Лондонского метро в интернете, и эти новые сведения изменят мое убеждение о вероятности опоздания поезда (хотя и ненамного...).
Теорема Байеса показывает, насколько именно изменится мое убеждение относительно A в свете новых сведений X. В приведенном выше уравнении p(A) — мое первоначальное, или априорное, убеждение об А до поступления новых сведений X, p(X|A) — вероятность получения сведений X в случае, если A действительно будет иметь место, а p(A|X) — мое последующее, или апостериорное, убеждение об А с учетом новых сведений X. Все это станет понятнее на конкретном примере.

Вас, вероятно, удивило, почему это Брэдли Карлин, профессор здравоохранения из Университета Миннесоты, так интересуется теоремой Байеса. Дело в том, что здравоохранение — одна из тех многих областей, где теорема Байеса находит свое применение.

Рассмотрим проблему рака груди. Обратимся к частному случаю, связанному с эффективностью массовых обследований. Мы знаем (это наше априорное убеждение), что к 40 годам у 1% женщин развивается рак груди (p(A) = 0,01). Кроме того, у нас есть хороший метод выявления рака груди — маммография (этот метод дает нам новые сведения). Результат маммографии будет положительным у 80% женщин с раком груди (p(X|A) = 0,8) и лишь у 9,6% женщин без рака груди (p(X|~A) = 0,096). Таковы вероятности получения наших сведений в случае, если наше убеждение истинно. Судя по этим цифрам, кажется очевидным, что регулярные обследования на предмет наличия рака груди — вещь хорошая. Итак, если мы обследуем всех женщин, то какова будет среди тех, у кого обследование даст положительный результат, доля тех, у кого действительно будет рак груди, то есть каково будет значение p(A|X)?

Учитывая, что этот метод кажется хорошим, каково будет ваше убеждение относительно женщины, для которой только что получен положительный результат маммографического обследования на рак груди? Большинство людей сказали бы, что у нее, скорее всего, рак груди. Но применение теоремы Байеса показывает, что это мнение ошибочно. Мы можем легко убедиться в этом, если на время забудем о вероятностях. Вместо этого давайте рассмотрим 10 000 женщин в возрасте 40 лет и старше.

Еще до обследования эти 10 000 женщин можно мысленно разделить на две группы:

Группа 1: 100 женщин с раком груди;
Группа 2: 9 900 женщин без рака груди.
Группа 1 — это тот 1% женщин, у которых развился рак: p(A)

После обследования женщин можно разделить на четыре группы:

Группа А: 80 женщин с раком груди и положительной маммографией;
Группа Б: 20 женщин с раком груди, но с отрицательной маммографией.
Группа А — это те 80% женщин с раком груди, у которых его выявляет маммография: p(X|A)
Группа В: 950 женщин без рака груди, но с положительной маммографией;
Группа Г: 8 950 женщин без рака груди и с отрицательной маммографией.
Группа В — это те 9,6% женщин, у которых нет рака груди, но результат маммографии положительный: p(X|~A).

Итак, результат обследования оказался положительным у 950 женщин, у которых нет рака груди, и только у 80 женщин, у которых есть рак груди. Чтобы ответить на вопрос «Какова доля женщин с раком груди среди тех, у кого результат маммографии положительный?», мы разделим число женщин в группе A на суммарное число женщин в группах А и В (то есть на общее число женщин с положительной маммографией). Это даст нам ответ 7,8%. Иными словами, более 90% женщин, у которых маммография дает положительный результат, в действительности не больны раком груди. Несмотря на то что маммография — хороший метод выявления рака груди, теорема Байеса говорит нам, что получаемые с ее помощью сведения сравнительно малоинформативны. Проблема возникает оттого, что мы обследуем сразу всех женщин в возрасте 40 лет и старше. Для женщин этой большой группы априорное ожидание рака весьма невелико. Теорема Байеса показывает, что результаты маммографии будут намного информативнее, если обследовать «группы риска», например женщин, у которых в семье были случаи рака груди.

Теперь вам уже, наверное, кажется, что вы узнали больше, чем нужно, о том, как на деле работает теорема Байеса. Какое же все это имеет отношение к решению проблемы познания окружающего мира?

Идеальный байесовский наблюдатель


Важность теоремы Байеса состоит в том, что она дает нам возможность очень точно измерять степень, в которой новые сведения должны менять наши представления о мире. Теорема Байеса дает нам критерий, позволяющий судить о том, адекватно ли мы используем новые знания. На этом и основана концепция идеального байесовского наблюдателя — воображаемого существа, всегда использующего получаемые сведения наилучшим из возможных способов. Как мы только что убедились из примера с раком груди, у нас очень плохо выходит использовать получаемые сведения, когда речь идет о редких событиях и больших числах. Психологи охотно придумывают забавные и полезные задачи, которые у студентов, даже тех, кто изучает статистику и логику, никак не получается правильно решить. Но хотя нам, когда мы пытаемся решать такие задачи, и далеко до идеального наблюдателя, у нас есть уже немало свидетельств того, что наш мозг не сбивают с толку ни редкие события, ни большие числа. Наш мозг, когда он обрабатывает данные, поступающие от органов чувств, ведет себя как настоящий идеальный наблюдатель.

Отступление о преподобном Томасе Байесе и национальной безопасности: когда идеальный наблюдатель оказывается неидеальным

Наш мозг, пока мы ему не мешаем, ведет себя как идеальный байесовский наблюдатель. Так почему же эта идеальная система дает сбои, когда мы сами начинаем думать над решением задачи? Не оттого ли это, что в некоторых условиях этот идеальный наблюдатель оказывается не таким уж идеальным?

Приведем пример из проведенных в Бостоне исследований Джереми Вулфа (Jeremy Wolfe) и его коллег. Они экспериментировали с заданием, за образец которого взяли задачу работников службы безопасности, сканирующих вещи в аэропорту в поисках ножей и взрывчатых веществ, а также разных других запрещенных к провозу объектов. Когда искомые объекты встречались часто, испытуемые показывали совсем неплохой результат, не замечая лишь около 7% запрещенных объектов, но когда такие объекты встречались очень редко, результат оказывался крайне неутешительным. В одном из экспериментов испытуемые не заметили больше 50% искомых объектов, находившихся лишь в 1% досмотренных вещей. В этом эксперименте испытуемые вели себя как идеальные наблюдатели.

Когда искомые объекты встречаются очень редко, идеальному наблюдателю нужно намного больше данных, чтобы установить наличие такого объекта. Но когда искомый объект — это бомба, спрятанная в чемодане, идеальный наблюдатель оказывается не таким уж идеальным. Слишком серьезны могут быть последствия незамеченной бомбы.


Например, одна из задач, которые должен решать наш мозг, состоит в сопоставлении сведений, поступающих от разных органов чувств. Когда мы слушаем речь другого человека, наш мозг сопоставляет сведения, поступающие от глаз (вид движущихся губ) и от ушей (звук голоса). Когда мы берем в руку какой-нибудь предмет, наш мозг сопоставляет сведения, поступающие от глаз (каков этот предмет на вид) и осязательных рецепторов (каков этот предмет на ощупь). Совмещая эти сведения, наш мозг ведет себя как настоящий идеальный байесовский наблюдатель. Он игнорирует неубедительные свидетельства и акцентирует убедительные.

Как байесовский мозг может создавать модели мира?


Но есть и еще один аспект теоремы Байеса, который даже важнее для понимания того, как работает наш мозг. В формуле Байеса два ключевых элемента: p(A|X) и p(X|A). Величина p(A|X) говорит нам, насколько мы должны изменить наше представление об окружающем мире (A) после получения новых сведений (X). Величина p(X|A) говорит нам, каких сведений (X) мы должны ожидать, исходя из нашего убеждения (A). Мы можем взглянуть на эти элементы как на средства, позволяющие нашему мозгу делать предсказания и отслеживать ошибки в них. Руководствуясь своими представлениями об окружающем мире, наш мозг может предсказывать характер событий, которые будут отслеживать наши глаза, уши и другие органы чувств: p(X|A). Что же происходит, когда такое предсказание оказывается ошибочным? Отслеживать ошибки в подобных предсказаниях особенно важно, потому что наш мозг может использовать их для уточнения и улучшения своих представлений об окружающем мире: p(A|X). После внесения такого уточнения мозг получает новое представление о мире и может снова повторить ту же процедуру, сделав новое предсказание о характере событий, отслеживаемых органами чувств. С каждым повтором этого цикла ошибка в предсказаниях уменьшается. Когда ошибка оказывается достаточно маленькой, наш мозг «знает», что творится вокруг нас. И все это происходит так быстро, что мы даже не осознаём выполнения всей этой сложной процедуры. Нам может казаться, что представления о том, что творится вокруг, даются нам легко, но они требуют неустанного повторения мозгом этих циклов предсказаний и уточнений.


--------------------


Спасибо сказали:
Вернуться в начало страницы
 
+Ответить с цитированием данного сообщения
vzaytsev
сообщение 8.2.2011, 16:58
Сообщение #2


Почётный
******
Вставить ник
Цитата

Сообщений: 3 594
Из: Волгоград
Факультет: *
Статус: преподаватель
ICQ: 491677109


Why Most Published Research Findings Are False
http://www.plosmedicine.org/article/info:d...al.pmed.0020124
Да, только имейте в виду, что без прочтения комментариев, прочтение самой статьи не будет столь же полезным


--------------------
Жизнь - это то, что случается с нами, пока мы строим планы на жизнь (Джон Леннон)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
ORCID ID 0000-0001-9191-2862
http://www.facebook.com/valery.g.zaitsev
http://twitter.com/#!/valeryzaitsev
Вернуться в начало страницы
 
+Ответить с цитированием данного сообщения

Быстрый ответДобавить ответ в эту темуОткрыть тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 24.2.2020, 5:52